作业帮RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 07:05:04
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n＜m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
先给分、
将中点O设为原点，BC在X轴上，根据题意，可知P点为(n,0), Q点为(-n, 0);
设A为（a,b), 则有，
IAPI^2=(a-n)^2+b^2;
IAQI^2=(a+n)^2+b^2;
IPQI^2=4n^2;
三式相加得，IAPI^2+IAQI^2+IPQI^2=2a^2+2b^2+6n^2; （1）
又由于AO=m/2（直角三角形底边...
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将中点O设为原点，BC在X轴上，根据题意，可知P点为(n,0), Q点为(-n, 0);
设A为（a,b), 则有，
IAPI^2=(a-n)^2+b^2;
IAQI^2=(a+n)^2+b^2;
IPQI^2=4n^2;
三式相加得，IAPI^2+IAQI^2+IPQI^2=2a^2+2b^2+6n^2; （1）
又由于AO=m/2（直角三角形底边的中线等于底边的一半），可得a^2+b^2=(m^2)/4; 代入（1）式，得：
IAPI^2+IAQI^2+IPQI^2=（m^2)/2+6n^2;（2）
检验：当n=m/2时，（2）式=2m^2,(符合勾股定理）；
当n=0时，（2）式=（m^2)/2,(符合中线平方的2倍）；所以（2）式正确，得解。
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