作业帮设a b a为两两不相等的实数,则三个二次方程Ax^2+2Bx+C=0,Bx^2Cx+A=0,Cx^2+2Ax+B=0不可能同时有等根
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:59:33
设a b a为两两不相等的实数,则三个二次方程Ax^2+2Bx+C=0,Bx^2Cx+A=0,Cx^2+2Ax+B=0不可能同时有等根
设a b a为两两不相等的实数,则三个二次方程Ax^2+2Bx+C=0,Bx^2Cx+A=0,Cx^2+2Ax+B=0不可能同时有等根
设a b a为两两不相等的实数,则三个二次方程Ax^2+2Bx+C=0,Bx^2Cx+A=0,Cx^2+2Ax+B=0不可能同时有等根
假设：
方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中同时有等数根
即：
（2b）²-4ac=0……①
（2c）²-4ab=0……②
（2a）²-4cb=0……③
同时成立
由①+②+③得
（2b）²-4ac+（2c）²-4ab+（2a）²-4cb=0……⑤
配方得：
（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0……⑥
得到:a-b=0,b-c=0,c-a=0
即a=b=c.
又a b c为两两不相等的实数
很明显⑥不可能成立,那么“方程ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0,cx^2+2ax+b=0中同时有等实数根”不成立,那么它的反面成立.即 三个方程不可能同时有等根
假设同时又等根，则
4b^2-4ac=0
4c^2-4bc=0
4a^2-4bc=0
a=b=c
与abc为两两不相等的实数相矛盾，故不可能
反证法：假设同时有等根
△1=4b^2-4ac=0(1) △2=4c^2-4ab=0(2) △3=4a^2-4cb=0 (3)
(1)+(2)+(3)得到a^2+b^2+c^2=ac+ba+ba 2a^2+2b^2+2c^2=2ac+2bc+2ab
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0(移项配方) a=c=b与a b c为两两不相等的实数
矛...
全部展开
反证法：假设同时有等根
△1=4b^2-4ac=0(1) △2=4c^2-4ab=0(2) △3=4a^2-4cb=0 (3)
(1)+(2)+(3)得到a^2+b^2+c^2=ac+ba+ba 2a^2+2b^2+2c^2=2ac+2bc+2ab
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0(移项配方) a=c=b与a b c为两两不相等的实数
矛盾，所以假设不成立，Ax^2+2Bx+C=0,Bx^2Cx+A=0,Cx^2+2Ax+B=0不可能同时有等根
明白了吗？
收起
证明： 令Ax^2+2Bx+C=0,Bx^2Cx+A=0,Cx^2+2Ax+B=0同时有等根
则由判别式 B^2=AC C^2=AB A^2=BC
得A=B=C 与题意不符
故Ax^2+2Bx+C=0,Bx^2Cx+A=0,Cx^2+2Ax+B=0不可能同时有等根