作业帮第二积分中值定理如何证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:55:52
第二积分中值定理如何证明
第二积分中值定理如何证明
第二积分中值定理如何证明
这个定理的推导比较复杂,牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x,下限为常数a）.以下用∫f(x)dx<a,b>表示从a到b的定积分.
首先需要证明,若函数f(x)在[a,b]内可积分,则Φ(x)在此区间内为一连续函数.
证明：给x一任意增量Δx,当x+Δx在区间[a,b]内时,可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt<a,x+Δx> = ∫f(t)dt<a,x> + ∫f(t)dt<x,x+Δx>
= Φ(x) + ∫f(t)dt<x,x+Δx>
即
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt<x,x+Δx>
应用积分中值定理,可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m<=μ<=M,m、M分别为f(x)在[x,Δx]上的最小值和最大值,则当Δx->0 时,Φ(x+Δx) - Φ(x)->0,即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续,则Φ(x)在此点有导数,为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到,对于任意的ε>0,总存在一个δ>0,使|Δx|<δ时,对于一切的t属于[x,x+Δx],|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到）,得
f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε
由于t属于[x,x+Δx],因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上）,由于f(x)-ε<f(t)& amp;lt;f(x)+ε当t属于[x,x+Δx]时恒成立,因此得到
f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε
由于m<=μ<=M（μ的意义同上）,可以得到
f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε
即|μ-f(x)|<=ε
由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx,可以得到,当Δx->0时,
Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)
命题得证.
由以上可得,Φ(x)就是f(x)的一个原函数.设F(x)为f(x)的任意一个原函数,得到
Φ(x)=F(x)+C
当x=a时,Φ(a)=0（由定义可以得到）,此时
Φ(a)=0=F(a)+C
即C=-F(a)
得到
Φ(x)=F(x)-F(a)
则当x=b时,Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>,得到
Φ(b)=∫f(x)dx<a,b> = F(b)-F(a)
至此命题得证.
参考资料：数学分析原里
f(x)在[a,b]上连续 (定理条件1)
由介值定理知 f(x)在[a,b]上有界
即m <= f(x) <= M (1)
∫[a,b]g(x)dx 在区间[a,b]上不变号 (定理条件2)
令∫[a,b]g(x)dx > 0 (2)
由(1)(2),有式(3)
m∫[a,b]g(x)dx <= ∫[a,b]f(x)g(x)dx <= M∫[a...
全部展开
f(x)在[a,b]上连续 (定理条件1)
由介值定理知 f(x)在[a,b]上有界
即m <= f(x) <= M (1)
∫[a,b]g(x)dx 在区间[a,b]上不变号 (定理条件2)
令∫[a,b]g(x)dx > 0 (2)
由(1)(2),有式(3)
m∫[a,b]g(x)dx <= ∫[a,b]f(x)g(x)dx <= M∫[a,b]g(x)dx (3)
由∫[a,b]g(x)dx > 0 ,式(3)可化为
m<= ∫[a,b]f(x)g(x)dx / ∫[a,b]g(x)dx <= M (4)
又由f(x)在[a,b]上连续 (定理条件1)
由介值定理知,
区间[a,b]上至少有一点p, 使得对任何P (m <= P <= M), 都有f(p) = P
令∫[a,b]f(x)g(x)dx / ∫[a,b]g(x)dx = P
则可知[a,b]上至少有一点p, 使得f(p) = ∫[a,b]f(x)g(x)dx /
等式两侧同乘∫[a,b]g(x)dx, 即得证.
纯手打~求分~
收起