不等式证明 设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其中n>=3）求证：a1,a2...an中任何

不等式证明 设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其中n>=3）求证：a1,a2...an中任何
不等式证明 设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其
设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其中n>=3）求证：a1,a2...an中任何三数都是某三角形的边长
设x+y+z=19,则函数u=根号（x^2+4)+根号（y^2+9)+根号(z^2+16)的最小值为

不等式证明 设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其设n个正实数a1,a2,a3,...,an满足不等式(a1^2+a2^2+...+an^2)^2>(n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)(其中n>=3）求证：a1,a2...an中任何
原问题可以这样简化：
题目中这n个正实数大小顺序不影响不等式成立,因此可以假设他们大小为从大到小排列
这样一来题目只需要证明an+a(n-1)＞a1即可.因为三正数为三角形边长的充要条件就是任意两边和大于第三边（当然也可以等价为较小两边的和大于第三边）.只要最小两个数的和大于最大的a1就行
构造函数f(x）=（a1^4+a2^4+...+an^4)x²+(a1^2+a2^2+...+an^2)x+ (n-1)/4
=(a1²x+1/2）²+（a2²x+1/2）²+……+（a²nx+1/2）²-1/4
则方程f(x)=0的判别式δ=(a1^2+a2^2+...+an^2)^2 - (n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4)＞0
接下来只考虑f(x)＜0的部分
令a²ix=Ti,那么f(x)=(T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²-1/4,
并且设b²n=1/4 -[（T1+1/2)²+……（Tn+1/2）²],bn＞0,这样方便下面描述
由不等式f（x）＜0,则可以得到（Tn+1/2）²＜b²（n-1）,所以Tn∈（-1/2-b(n-1),-1/2+b(n-1)）
由此可以知道x必然小于0,并且由a(n-1)＞an可以知道-1＜T(n-1)＜Tn＜0
所以[1/2+T1-T(n-1)]²-b²（n-1）= [（T1+1/2)²+……（Tn-1 +1/2)²】+[1/2+T1-T(n-1)]²-1/4
＞0
即1/2+T1-T(n-1)＞b(n-1),所以由Tn的范围可以知道T1-T（n-1）＞Tn
同除以x即得到a1-a(n-1)＜an,也就是an+a(n-1)＞a1

这两题当年都做过的，唉，都两年了，我试着看能不能回忆起来

只要证a1+a2>a3, 其它的同理可证。
用反证法，设a1+a2<=a3，证明条件不等式中的那个>号变成<=就行了。
先证(a1^2+a2^2+a3^2)^2<=2(a1^4+a2^4+a3^4). 右边减左边＝
[a3^2-(a1^2+a2^2)]^2-4a1^2a2^2>=[(a1+a2)^2-(a1^2+a2^2)]^2-4a1^2a2^2 = 0. 成立。

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只要证a1+a2>a3, 其它的同理可证。
用反证法，设a1+a2<=a3，证明条件不等式中的那个>号变成<=就行了。
先证(a1^2+a2^2+a3^2)^2<=2(a1^4+a2^4+a3^4). 右边减左边＝
[a3^2-(a1^2+a2^2)]^2-4a1^2a2^2>=[(a1+a2)^2-(a1^2+a2^2)]^2-4a1^2a2^2 = 0. 成立。
记M=根号[(a1^4+a2^4+a3^4)/2]，则上式得a1^2+a2^2+a3^2<=2M.
用柯西不等式，(a1^2+a2^2+...+an^2)^2<=(M+M+a4^2+...+an^2)^2
<=(n-1)(2M^2+a4^4+...+an^4)= (n-1)(a1^4+a2^4+...+an^4).
因此反证法完成！
至于补充问题：先将U平方，展开式中出现三个根式，对每个根式用二维柯西不等式，
即：根号下[(x^2+4)(y^2+9)]>=xy+6, 根号下[(y^2+9)(z^2+16)]>=yz+12,
根号下[(x^2+4)(z^2+16)]>=xz+8,
所以，U^2>=(x+y+z)^2 + 29+26 ＝常数，且等号时x:y:z=2:3:4，等式能成立，所以得出最小值。

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补充问题：将U平方，展开式中出现三个2倍根式，对每个根式用二维柯西不等式，
即：2倍根号下[(x^2+4)(y^2+9)]>=2(xy+6), 2倍 根号下[(y^2+9)(z^2+16)]>=2（yz+12）,
2倍根号下[(x^2+4)(z^2+16)]>=2（xz+8）,
所以，U^2>=(x+y+z)^2 + 29+52 ＝442，且等号时x:y:z=2:3:4，...

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补充问题：将U平方，展开式中出现三个2倍根式，对每个根式用二维柯西不等式，
即：2倍根号下[(x^2+4)(y^2+9)]>=2(xy+6), 2倍 根号下[(y^2+9)(z^2+16)]>=2（yz+12）,
2倍根号下[(x^2+4)(z^2+16)]>=2（xz+8）,
所以，U^2>=(x+y+z)^2 + 29+52 ＝442，且等号时x:y:z=2:3:4，等式能成立，所以得出最小值
U=根号442
楼上二位人才难得 在此向你们献礼！

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