已知,△ABC中∠C=90°,M是AB上的中点,E、D在AC、BC上,且ME⊥MD,求证:AE、ED、DB是直角三角形的三边.

已知,△ABC中∠C=90°,M是AB上的中点,E、D在AC、BC上,且ME⊥MD,求证:AE、ED、DB是直角三角形的三边.
已知,△ABC中∠C=90°,M是AB上的中点,E、D在AC、BC上,且ME⊥MD,求证:AE、ED、DB是直角三角形的三边.

已知,△ABC中∠C=90°,M是AB上的中点,E、D在AC、BC上,且ME⊥MD,求证:AE、ED、DB是直角三角形的三边.
不知你是否学过正弦定理.
证:
在△AEM中,∠A+∠AEM+∠EMA=180°得∠AEM=180-∠A-∠EMA
同理∠MDB=180-∠B-∠DMB
所以∠AEM+∠MDB=360-(∠A+∠B)-(∠EMA+∠DMB)
=360-90-(180-∠EMD)
=270-(180-90)=180
所以SIN∠AEM=SIN(180-∠AEM)=SIN∠MDB
由于M为AB中点,所以AM=BM
设AM/SIN∠AEM=a,则BM/SIN∠MDB=a
由正弦定理可知
AE/SIN∠AME=ME/SIN∠A=AM/SIN∠AEM=a
BD/SIN∠DMB=DM/SIN∠B=BM/∠MDB=a
所以AE=a*SIN∠AME
ME=a*SIN∠A
BD=a*SIN∠DMB=a*SIN(90-∠AME)=a*COS∠AME
DM=a*SIN∠B=a*SIN(90-∠A)=a*COS∠A
则 AE^2+BD^2=a^2*((SIN∠AME)^2+(COS∠AME)^2)=a^2
ME^2+DM^2=a^2*((SIN∠A)^2+(COS∠A)^2)=a^2
得 AE^2+BD^2=ME^2+DM^2
而由已知条件知△EMD为直角三角形,ED为斜边
根据勾股定理ED^2=ME^2+DM^2
所以DE^2=AE^2+BD^2
即AE、ED、DB是直角三角形的三边
得证!

AE,ED,DB是直角3角形的3边?题目出错了吧,他们3边都没构成3角形,如果题目没错那就不用证明了,肯定成立!

在△AEM中,∠A+∠AEM+∠EMA=180°得∠AEM=180-∠A-∠EMA
同理∠MDB=180-∠B-∠DMB
所以∠AEM+∠MDB=360-(∠A+∠B)-(∠EMA+∠DMB)
=360-90-(180-∠EMD)
=270-(180-90)=180
所以SIN∠AEM=SIN(180-∠AEM)=SIN∠MDB
由于M为...

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在△AEM中,∠A+∠AEM+∠EMA=180°得∠AEM=180-∠A-∠EMA
同理∠MDB=180-∠B-∠DMB
所以∠AEM+∠MDB=360-(∠A+∠B)-(∠EMA+∠DMB)
=360-90-(180-∠EMD)
=270-(180-90)=180
所以SIN∠AEM=SIN(180-∠AEM)=SIN∠MDB
由于M为AB中点,所以AM=BM
设AM/SIN∠AEM=a,则BM/SIN∠MDB=a
由正弦定理可知
AE/SIN∠AME=ME/SIN∠A=AM/SIN∠AEM=a
BD/SIN∠DMB=DM/SIN∠B=BM/∠MDB=a
所以AE=a*SIN∠AME
ME=a*SIN∠A
BD=a*SIN∠DMB=a*SIN(90-∠AME)=a*COS∠AME
DM=a*SIN∠B=a*SIN(90-∠A)=a*COS∠A
则 AE^2+BD^2=a^2*((SIN∠AME)^2+(COS∠AME)^2)=a^2
ME^2+DM^2=a^2*((SIN∠A)^2+(COS∠A)^2)=a^2
得 AE^2+BD^2=ME^2+DM^2
而由已知条件知△EMD为直角三角形,ED为斜边
根据勾股定理ED^2=ME^2+DM^2
所以DE^2=AE^2+BD^2
即AE、ED、DB是直角三角形的三边

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证法1 延长EM到F，使MF=ME，连接BF。
∵AM=BM，EM=FM，∠AME=∠BMF，
∴⊿MAE≌⊿MBF，∴AE=AF，
又DM⊥EF，EM=FM，
∴DE=DF，
∵⊿MAE≌⊿MBF，∴∠MAE=∠MBF，
∴BF‖AC，∴BF⊥BD，
∴BD、DF、BF构成直角三角形，
∴BD、DE、AE可构成直角三...

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证法1 延长EM到F，使MF=ME，连接BF。
∵AM=BM，EM=FM，∠AME=∠BMF，
∴⊿MAE≌⊿MBF，∴AE=AF，
又DM⊥EF，EM=FM，
∴DE=DF，
∵⊿MAE≌⊿MBF，∴∠MAE=∠MBF，
∴BF‖AC，∴BF⊥BD，
∴BD、DF、BF构成直角三角形，
∴BD、DE、AE可构成直角三角形。
证法2 用解析法证明。分别以CA、CB为x轴、y轴建立直角坐标系，
设A(2a,0)，B(0,2b)，E(m,0)，F(0,n)，则M(a,b)
向量MD=(-a,n-b)，向量ME=(m-a,-b)
∵向量MD⊥向量ME，
∴-a(m-a)-b(n-b)=0，∴a^2+b^2=am+bn
∴EA^2+DB^2=(2a-m)^2+(2b-n)^2=4(a^2+b^2)-4(am+bn)+m^2+n^2=M^2+n^2=DE^2
∴BD、DE、AE可构成直角三角形。
证法3 用三角法证明。作MP⊥AC于P，MQ⊥BC于Q，设AC=2a，BC=2b，∠EMP=α，则四边形CPMQ为矩形，PE=btanα，CE=a+btanα，QD=atanα，CD=b-atanα，
∴AE^2+BD^2=(a-btanα)^2+(b+atanα)^2=(a+btanα)^2+(b+atanα)^2=DE^2,
∴结论成立。

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