试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 15:27:57
试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和

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试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和

试证:每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和
首先,若正整数n能同时整除正整数a和b,则n也能整除它们的差a-b.
由此可得,任意相邻的两个正整数均互质(因为它们的差为1),任意两个相邻的两个奇数也互质(因为它们的差为2,若它们有公因数d,则d必能整除2,也就是d=1或2,而2显然不能同时整除这两个奇数).同理,相差为2的乘方的两个奇数也互质.(因为它们的公因数必为2的乘方或1,而2显然不能同时整除这两个奇数,公因数只能是1)
对任意大于6的自然数,若它是奇数,设为2n+1,则 2n+1=n+(n+1),n与n+1为相邻的两个自然数,它们互质;
若它是偶数,则1)当它能被4整除时,设为4m,则 4m=(2m+1)+(2m-1),表为两个相邻奇数的和;2)当它不能被4整除时,设为 2(2m+1),则 2(2m+1)=4m+2=(2m+3)+(2m-1),这是两个相差为4的奇数的和.
总之,任意大于6的自然数,都可表示为两个大于1且互质的自然数之和.

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